• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Статья

Сквозь сеть сопротивлений

Основная цель этой статьи --- привести элементарное доказательство следующего фольклорного результата.

 

Теорема (А) Если человек случайным образом блуждают по бесконечной квадратной сетке, то вероятность его возвращения в начальный узел до первого попадания в узел, соседний с ним справа, равна $1/2$.

 

(B Сопротивление между соседними узлами бесконечной квадратной сетки из единичных сопротивлений равно $1/2$.

 

Все необходимые определения будут даны в статье. Части (А) и (В) теоремы оказываются равносильны друг другу. По сути --- это одно и то же утверждение, сформулированное в разных терминах: один раз на языке случайных блужданий, а второй раз --- на языке электрических цепей. При решении подобных задач полезно знать оба <<языка>> и уметь переводить интересующее вас утверждение с одного языка на другой.

 

Элементарное доказательство теоремы использует замечательную теорему Фостера о сопротивлении между соседними узлами конечных <<симметричных>> электрических цепей, и возможность приблизить бесконечную квадратную сетку такими цепями. В процессе доказательства мы познакомимся с теорией потенциала на графах и свойствами дискретных гармонических функций.