?
Двойственность Гейла и конус численно эффективных дивизоров на сферических многообразиях
В последнее время внимание специалистов привлекло применение двойственности Гей- ла к задачам торической геометрии. Например, в работе М.Н.Шенгелии [1], в терминах двойственности Гейла было проинтерпретировано описание конуса численно эффектив- ных дивизоров (Nef-конус) на полном торическом многообразии с веером, состоящим из рациональных симплициальных конусов. Описание этого конуса, которое обычно исполь- зовалось в обзорах и лекциях, сводится к существованию выпуклых кусочно-линейных функций на веере. С точки зрения колец Кокса и их образующих эта задача была рас- смотрена в [2].
В настоящей заметке мы приводим описание конуса численно эффективных диви- зоров в терминах двойственности Гейла, которая совершенно естественно возникает в контексте сферических многообразий. Описание конуса численно эффективных дивизо- ров (Nef-дивизоров), не использующее в явном виде двойственность Гейла, было известно уже достаточно давно и содержится в работе М.Бриона [3] (см. также замечательные обзоры [4], [9], [6] в которых содержатся основы теории сферических многообразий). По аналогии с торическим случаем оно сводится к описанию Nef-конуса в терминах суще- ствования выпуклых кусочно-линейных функций на цветном веере, обладающих опре- деленными свойствами. Несмотря на то, что большинство, утверждений, приведенных в настоящей статье, хорошо известны специалистам, доказательства из оригинальных статей содержат лишние редукции и утверждения, которые можно опустить, изменив порядок изложения. Мы снабжаем все утверждения доказательствами, чтобы читатель смог ознакомиться с предметом без лишних деталей и не прибегая к другим источникам, за исключением предложения 2, которое является следствием гипотезы Д.Мамфорда (теоремы В.Хабуша).