Бифуркации в интегрируемых системах с тремя степенями свободы — I

Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. 2024. Т. 327. С. 140–219.

Лерман Л. М., Кудрявцева Е. А.

Изучается локальная структура вещественно-аналитической интегрируемой гамильтоновой системы с тремя степенями свободы в окрестнос тях компактных особых орбит. В таких системах одномерные компактные орбиты соответствующего гамильтонова действия встречаются обычно однопараметрическими семействами, а двумерные орбиты — двухпараме тр ическими семействами. Поэтому вдоль семейств возможны изменения локальной структуры разбиения на ор би ты действия. В работе изучаются окрестности компактных одномерных орбит (т.е. полулокальных особенностей ранга 1 и коранга 2 отображения энергии -момента). Используя результаты Зунга и Кудрявцевой о существовании локального гамильтонова действия двумерного тора, исследуются бифуркации полулокальной с трук туры орбит около вырожденных орбит, соответствующих резонансам различного типа. Показывается, что эти бифуркации структурно-устойчивы относительно аналитических интегрируемых возмущений системы. Во всех случаях строятся стандартные полиномиальные гамильтонианы, которые вместе с квадратичными и линейными первыми интегралами дают C∞-лево-правую классификацию отображений энергии-момента в окрестностях вырожденных компактных орбит. Приводятся фазовые портреты и бифуркационные диаграммы некоторых редуцированных систем при соответствующих бифуркациях. 

Ключевые слова: бифуркация, интегрируемая гамильтонова система, бифуркационная диаграмма, лево-правая эквивалентность