?
Быстро сходящиеся черновские аппроксимации к решению уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности
Настоящая работа посвящена новому методу построения аппроксимаций к решению параболического дифференциального уравнения в частных производных. Рассматривается задача Коши для уравнения теплопроводности на прямой с переменным коэффициентом теплопроводности. Построена последовательность функций, которая сходится к решению этой задачи равномерно по пространственной переменной и локально равномерно по времени. Составляющие последовательность функции явно выражены через начальное условие и коэффициент теплопроводности, т.е. через функции, играющие роль параметров. При построении последовательности используются идеи и методы функционального анализа, а именно, теорема Чернова об аппроксимации операторных полугрупп, в силу чего построенные функции называются черновскими аппроксимациями. В большинстве ранее опубликованных работ норма разности между точным решением и черновской аппроксимацией с номером n не превышает const/n. Аппроксимации, построенные в работе, являются быстро сходящимися, т. е. для них ошибка убывает быстрее const/n. Это следует из теоремы Галкина-Ремизова. Приведены ключевые формулы, явный вид построенных аппроксимаций и схемы доказательств. Полученные в настоящей статье результаты указывают путь к построению быстро сходящихся черновских аппроксимаций для более широкого класса уравнений.