Резонанс в ограниченных нелинейных системах маятникового типа

Журнал Средневолжского математического общества. 2022. Т. 24. № 3. С. 289–296.

Пелиновский Е. Н., Мельников И. Е.

Решение нелинейных дифференциальных уравнений с внешними сила-
ми имеет важное значение для понимания резонансных явлений в физике колебаний.
В статье эта проблема анализируется на примере обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка маятникового типа, когда нелинейность описывается си-
нусоидальным слагаемым. Построена фазовая плоскость такого осциллятора и изу-
чены ее периодические траектории. Показано, что ограниченная нелинейность играет
роль только на промежуточных амплитудах. Возбуждение нелинейного осциллятора
осуществляется с помощью ограниченной двухкомпонентной силы; одна из ее компо-
нент соответствует колебанию на резонансной частоте линейного осциллятора, а вторая
представляет собой ограниченную функцию с переменной частотой. Показывается, что
при соответствующем выборе внешней силы можно получить неограниченное усиление
колебаний в осцилляторе маятникового типа с амплитудой, линейно пропорциональной
времени. Спектральный состав внешней силы исследуется с помощью оконного преобра-
зования Фурье. Демонстрируется, что для поддержания резонансного режима частота
внешней силы должна непрерывно расти. Выполнены энергетические оценки внешней
силы и колебаний осциллятора в зависимости от времени. Рассмотренный пример ва-
жен для понимания резонансных условий в нелинейных задачах

Ключевые слова: нелинейный резонанс, nonlinear resonance

ПУБЛИКАЦИЯ ПОДГОТОВЛЕНА ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ПРОЕКТА: Теория динамических систем и ее приложения (2021)