О взаимных расположениях двух М-кривых степени 4

Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2023. Т. 222. С. 69–82.

Пучкова Н. Д.

Рассматривается задача топологической классификации взаимных расположений\linebreak в вещественной проективной плоскости двух M-кривых степени 4. На изучаемые расположения наложены условие максимальности (овал одной из этих кривых имеет 16 попарно различных общих точек с овалом другой из них) и условие комбинаторного характера, выделяющее специальный тип таких расположений. Перечислены попарно различные топологические модели расположений этого типа, удовлетворяющие известным фактам о топологии неособых кривых и топологическим следствиям теоремы Безу. Таких моделей оказалось более 2000. Приведены примеры кривых степени 8, реализующих некоторые из этих моделей, и доказано, что 1734 моделей не могут быть реализованы кривыми степени 8. Доказательства нереализуемости проводятся методом Оревкова, основанным на применении теории кос и зацеплений.

Ключевые слова: Orevkov's method, метод Оревкова, plane real algebraic curves, decomposable curves, quasi-positive braids, Murasugi-Tristram inequality, Fox-Milnor condition, Плоские вещественные алгебраические кривые, распадающиеся кривые, квазиположительные косы, неравенство Мурасуги-Тристрама, условие Фокса-Милнора