?
On the properties of functions of the Takagi power class
Функции S_p(x) из степенного класса Такаги по конструкции аналогичны непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции Такаги, описанной в 1903~г. Они имеют один вещественный параметр p>0 и определяются на вещественной оси с помощью функционального ряда S_p(x) = \sum_{n=0}^\infty (T_0(2^nx)/2^n)^p, где T_0(x) - расстояние между вещественной точкой x и ближайшей к ней целой точкой. При различных значениях параметра p мы изучаем такие свойства функций S_p(x), как непрерывность, обобщенное условие Гёльдера, глобальные максимумы и дифференцируемость в точках x=1/3, x=2/3. Мы доказали, что при всех 0<p<1 глобальные максимумы функций S_p(x) на отрезке [0;1] находятся только в точках x=1/3 и x=2/3, и вычислили значения этих глобальных максимумов. Данное исследование является новым, поскольку функциональный ряд, задающий функции S_p(x), состоит из нелинейных слагаемых. Одним из немногих хорошо изученных классов функций, составленных из нелинейных слагаемых, является класс функций Вейерштрасса W_{a,b}(x) = \sum_{n=0}^\infty a^n cos^n(b^nx). Недифференцируемость функций Вейерштрасса W_{a,b}(x) в каждой вещественной точке x доказана Харди в 1916 году при условии, что 0<a<1 и ab>=1. Положение точек глобальных максимумов для функций Вейерштрасса W_{a,b}(x) на настоящий момент хорошо не изучено.