Регулярность минимайзеров функционала максимального расстояния

Записки научных семинаров ПОМИ РАН. 2017. Т. 462. С. 103–111.

Теплицкая Я. И.

Мы изучаем свойства множества $\Sigma$, являющегося решением задачи о минимизации длины для произвольных компакта $M \subset \mathbb{R}^2$ и числа ${r>0}$, ограничивающего максимальное расстояние от искомого множества до $M$. Иначе говоря, искомое множество $\Sigma$ имеет минимальную длину в классе замкнутых связных множеств $\Sigma'$, таких, что \[F_{M}(\Sigma')\defeq \max_{y \in M} \dist(y,\Sigma') \leq r.\] В настоящей заметке анонсируется теорема о регулярности минимайзеров и некоторые ее следствия; в частности, она гарантирует, что любой минимайзер максимального расстояния является объединением конечного числа инъективных кривых. При этом угол между любыми двумя касательными лучами в произвольной точке множества $\Sigma$ больше или равен $2 \pi/3$. Все утверждения верны даже для более широкого, чем минимайзеры, класса локальных минимайзеров.

Ключевые слова: regularity, maximal distance minimizer, Steiner tree, locally minimal network, дерево Штейнера, локально минимальная сеть, минимайзер максимального расстояния, регулярность