?
On links in Poincare homology sphere
Выонг Х. Б., Евтеев В. А.
В печати
Сфера гомологии Пуанкаре – это знаменитый первый пример многообразия, имеющего гомологию обычной трехмерной сферы, названного в честь Анри Пуанкаре. Он построил это многообразие из додекаэдра и назвал его додекаэдрическим пространством. Исследуем узлы и зацепления в сфере гомологии Пуанкаре. Вложение непересекающихся окружностей в сферу гомологии Пуанкаре \Sigma является зацеплением в \Sigma. Способ представления зацепления в \Sigma заключается в использовании додекаэдрического пространства идентификации, как у Пуанкаре; тогда мы можем получить проекцию зацепления при определенных условиях, которая составляет диаграмму зацепления в \Sigma. Этот способ получения диаграммы создаст некоторые комбинаторные трудности при построении инвариантов узлов в \Sigma по сравнению с классической диаграммой узлов. Трудности вызваны природой сферы Пуанкаре, которая сложнее, чем трехмерная сфера. Другой способ представления зацепления в \Sigma – использование смешанных диаграмм, как показано ниже. Хорошо известно, что можем получить любые 3-многообразия, проведя хирургию над зацеплением в обычной 3-сфере. Тогда зацепление в 3-многообразии может быть представлено как диаграмма классического зацепления, объединенного с зацеплением, вдоль которого проводим хирургию. Таким образом, мы получаем диаграммы зацеплений с некоторой дополнительной информацией о хирургической структуре для компонентов хирургии. В данной работе используем хирургию над левым трилистником с коэффициентом -1 для построения гомологической сферы Пуанкаре. Для каждого зацепления с диаграммой даем копредставление фундаментальной группы дополнения зацепления в гомологической сфере Пуанкаре в терминах порождающих и соотношений. Из копредставления фундаментальной группы получаем первую группу гомологии зацеплений в \Sigma при отображении Гуревича.