?
Целочисленное кольцо когомологий симметрических степеней CW-комплексов и топология симметрических степеней римановых поверхностей
Показано, что фактор H∗(SymnX;Z)/Tor целочисленного кольца когомологий симметрических степеней связных счетных CW-комплексов конечного гомологического типа по кручению есть функтор от кольца H∗(X;Z)/Tor. Дано явное описание этого функтора. Также рассмотрен важный частный случай, когда X — компактная риманова поверхность M2g рода g. Знаменитая теорема Макдональда 1962 г. дает явное описание целочисленного кольца когомологий H∗(SymnM2g;Z). Тщательный анализ оригинального доказательства Макдональда показывает, что оно содержит три пробела. Все эти пробелы были устранены Серулем в 1972 г., и, таким образом, Серуль получил полное доказательство теоремы Макдональда. Тем не менее в нестабильном случае 2⩽n⩽2g−2 у утверждения теоремы Макдональда есть подпункт, который требует корректировки даже для рациональных колец когомологий. В работе доказана следующая известная гипотеза (Благоевич–Груич–Живалевич, 2003). Обозначим через M2g,k произвольную компактную риманову поверхность рода g⩾0 с k⩾1 проколами. Пусть даны числа n⩾2, g,g′⩾0, k,k′⩾1, причем 2g+k=2g′+k′ и g≠g′. Тогда гомотопически эквивалентные открытые многообразия SymnM2g,k и SymnM2g′,k′ негомеоморфны.