Задачи на клетчатой бумаге

М. : Школа имени А. Н. Колмогорова, 2006.

Вавилов В. В., Устинов А. В.

Книга представляет собой коллекцию важных теорем и задач из теории точечных решеток и ее приложений, почерпнутых авторами из многочисленных монографий, учебников, научно-популярных книг и журнальных статей. Некоторые задачи являются новыми.

Основные свойства решеток, вычисление площадей многоугольников, расположенных на решетках (формула Пика) составляют основное содержание начальных глав книги. Многочисленные материалы далее посвящены вопросам расположения окружностей, правильных и полуправильных многоугольников на решетках. Также широко представлена тематика, связанная с геометрической теорией чисел: алгоритм «вытягивания носов», полигоны Клейна, теоремы Минковского, Дирихле, Гурвица и др. Тема «Дискретные гармонические функции» выделена в отдельную главу и включает в себя интересные аналоги классической теории потенциала на плоскости: принцип максимума, теорема Лиувилля, задача Дирихле, формула Пуассона и др.

Книга в целом или отдельные ее главы могут быть полезны для проведения обычных и факультативных занятий в средних школах, при чтении специальных курсов и работе специальных семинаров в вузах, при подготовке студенческих курсовых и дипломных работ.

Работа выполнена в рамках научного гранта, выделенного в 2006 году «Клубом ФМШ Колмогорова», который объединяет учащихся, выпускников, преподавателей и ветеранов школы им. А. Н. Колмогорова Специализированного Учебно-Научного Центра МГУ им. М. В. Ломоносова.

Ключевые слова: two-dimensional lattices, двумерные решетки