?
Asymptotics for a class of singular integrals of quotients with highly degenerate denominators
При строгом анализе теории волновой турбулентности и в кинетической теории теплопроводности Р. Пайерлса возникают интегралы вида $\int_{\mathcal{M}}\frac{F\omega_{\mathcal{M}}}{\Omega^2 + \nu^2\Gamma^2}$ и $\int_{\mathcal{M}}\frac{F\cos(\nu^{-1}\Omega)\omega_{\mathcal{M}}}{\Omega^2 + \nu^2\Gamma^2}$, где $\nu>0$ --- малый параметр, $\mathcal{M}$ --- замкнутое риманово многообразие с формой объема $\omega_\mathcal{M}$, a функции $\Gamma > 0$, $F$, $\Omega$ являются достаточно гладкими. Мы исследуем их асимптотическое поведение в пределе $\nu\rightarrow 0$. Данная работа развивает работы [Kuksin' 17, Дымов' 23], где рассматриваются аналогичные интегралы для случая $\mathcal{M}=\mathbb{R}^d$. Мы существенно ослабляем условие невырожденности особых точек функции $\Omega$, играющее ключевую роль в упомянутых работах, что позволяет применить полученные результаты к задаче строгого обоснования кинетической теории Р. Пайерлса.