?
Введение в теорию вероятностей и математическую статистику для физиков
Предисловие.
Теория вероятностей возникла в XVI--XVII веках как раздел математики, объясняющий причины выигрыша или проигрыша в азартных играх. Участие знаменитых ученых потребовалось для анализа игровых стратегий и объяснения ряда фактов отнюдь не очевидных с точки зрения здравого смысла. Вероятностные методы описания окружающей реальности остаются актуальными и сейчас, более того, сложность рассматриваемых систем достигла планетарного масштаба. Стохастические методы, возникшие как инструмент анализа игры в кости, используются для учета влияния случайных факторов на динамику глобальных процессов. Какова же в настоящее время роль теории вероятностей в точных науках? Во-первых, вероятностные методы предоставляют адекватный инструмент обработки результатов экспериментов, используемых для проверки научных гипотез, поскольку новые результаты, как правило, извлекаются из экспериментальных данных, полученных на пределе технических возможностей измерительной аппаратуры. Такие данные содержат шумы приборов, неточности в описании условий эксперимента и другие плохо контролируемые факторы. Во-вторых, существуют явления, такие как тепловые шумы, квантовые флуктуации и пр., случайные по своей природе, или турбулентность, полное детерминистическое описание которой практически невозможно. Наличие тепловых или квантовых шумов ограничивает пропускную способность каналов связи и производительность микропроцессоров, а принцип неопределенности Гейзенберга ограничивает точность одновременного измерения некоммутирующих наблюдаемых. В-третьих, со случайностью можно не только бороться, ее можно использовать, поскольку ряд физических величин выражается в виде математического ожидания функционалов по вероятностным мерам. Для вычисления таких величин используются методы статистического моделирования -- алгоритмы Метрополиса и Хастингса. Перечисленные области применения вероятностных методов в физических задачах отражены в настоящем учебном пособии, состоящем из двух пар связанных между собой разделов теории вероятностей и математической статистики: первая пара -- основные понятия теории вероятностей и статистические методы проверки гипотез, вторая пара -- марковские цепи и методы статистического моделирования, включая вычисление континуальных интегралов и статистических сумм для систем с парным взаимодействием. Теоретический материал иллюстрируется примерами численного решения задач с помощью системы аналитических вычислений Mathematica, освоение которых полезно для студентов и аспирантов, изучающих вероятностные методы в физике. Мы знакомим читателя с применениями критериев Пирсона, Стьюдента, Фишера, Колмогорова и Смирнова для проверки статистических гипотез и определения параметров методом наименьших квадратов. Во второй части курса рассматриваются эргодические свойства случайных процессов, методы моделирования случайных блужданий и броуновского движения, а также численные методы Монте-Карло. В первую очередь здесь излагаются способы получения и преобразования случайных величин и обсуждаются различные критерии качества датчиков псевдослучайных чисел. Целью курса является объединение теоретических и вычислительных возможностей теории вероятностей в компактной и связанной форме. С точки зрения автора, одной из наиболее удачной книг по теории вероятностей и математической статистике для физиков является монография Д.~Хадсона ``Статистика для физиков'' \cite{Hud64}, написанная в теперь уже далеком 1964 г. и переведенная на русский язык в 1967 году. Ее отличительными чертами являются компактность и простота изложения, сопровождаемые примерами анализа статистических данных и математическими выкладками, достаточным для понимания сути дела. Фундаментальным дополнением, не утратившим актуальности и по сей день, является двухтомник В.~Феллера ``Введение в теорию вероятностей и ее приложения'' \cite{feller}. Русский перевод был сделан известнейшими специалистами Р.Л.~Добрушиным, С.А.~Молчановым и А.А.~Юшкевичем под редакцией Е.Б.~Дынкина и опубликован в 1967 году --- всего через год после выхода английского издания. В отличие от большинства ``толстых'' монографий по математике, двухтомник Феллера написан для читателя --- его можно изучать, начиная с любой главы. Кроме того, оба тома снабжены впечатляющим количеством нетривиальных примеров, многие из которых взяты из научных публикаций известных авторов. Среди недавно изданных монографий весьма интересна книга М.Б.~Лагутина ``Наглядная математическая статистика'' \cite{Lag07}, автору которой удалось изложить важные результаты статистики в увлекательной форме без потери глубины и строгости. При написании текста настоящего учебного пособия мы попытались соединить в нем достоинства упомянутых книг --- краткость, наличие доказательств и поясняющих примеров, возможность независимого прочтения основных разделов. Новое обстоятельство, возникшее за годы, прошедшие с момента выхода книг Хадсона и Феллера, связано с распространением персональной вычислительной техники, но примеров удачного совмещения теорем и программ, по-видимому, до настоящего времени не существует, хотя существует большое число программных ресурсов, доступных в интернете (см. random.mat.sbg.ac.at, www.gnu.org, gams.nist.gov и др.). При работе над рукописью автору были весьма полезны состоявшиеся ранее беседы и обсуждения математических вопросов с В.~Богачевым, А.~Булинским, Н.~Вабищевичем и А.~Соболевским. Автор выражает им свою глубокую благодарность.
