Теорема Люрота для полей рациональных функций от бесконечно многих переставляемых переменных

Математический сборник. 2025. Т. 216. № 9. С. 86–113.

Ровинский М. З.

Теорема Люрота описывает доминантные отображения из рациональных кривых над полем.
В этой заметке изучаются доминантные рациональные отображения из декартовых степеней X Ψ геометрически неприводимых многообразий X над полем k для бесконечных множеств Ψ, которые эквивариантны по отношению ко всем перестановкам множителей X. По крайней мере f Ψ
некоторые из таких отображений изоморфны композициям h : X Ψ −−→ f Y Ψ → H\Y Ψ , где X −
→ Y — доминантное k-отображение, а H — некоторая группа бирациональных автоморфизмов многообразия Y |k, диагонально действующая на Y Ψ .
Показано, что в нулевой характеристике все доминантные эквивариантные отображения из X Ψ получаются, по существу, именно таким образом, если dim X = 1. Для произвольных X получены частичные результаты.
Имеется аналогичный вопрос: все ли неприводимые инвариантные подмногообразия в X Ψ являются прообразами относительно f Ψ (для подходящих f ) подмногообразий в Y, диагонально вложенных в YΨ? Это было бы дополнением к знаменитой теореме Д.Э.Коэна о нётеровом свойстве симметрических идеалов. Показано, что ответ положителен, если dim X = 1.

Ключевые слова: алгебраические многообразия

ПУБЛИКАЦИЯ ПОДГОТОВЛЕНА ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ПРОЕКТА: Геометрия алгебраических многообразий, производных категорий, мотивов и метрик специальной голономии (2025)