• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Статья

Метод конечных элементов с дискретными прозрачными граничными условиями для одномерного нестационарного уравнения Шрёдингера

Доклады Академии наук. 2012. Т. 447. № 2. С. 130-135.
Злотник А. А., Злотник И. А.

Уравнение Шрёдингера играет важную роль в квантовой механике, ядерной и волновой физике, в нанотехнологиях и др. Часто его приходится решать в неограниченных областях. Для этой цели разработано немало подходов, использующих приближенные прозрачные граничные условия (ПГУ) на искусственных границах. К числу лучших из них относятся дискретные ПГУ, для которых отражения от искусственных границ полностью отсутствуют, вычисления устойчивы, а их математическая основа прозрачна. Их разработке и анализу для разностных схем посвящен целый ряд работ. В то же время для метода конечных элементов (МКЭ) дискретные ПГУ построены не были. Настоящая статья восполняет этот пробел.

В ней рассматривается начально-краевая задача для обобщенного нестационарного уравнения Шрёдингера (с переменными коэффициентами) на полуоси. Изучается двухслойный симметричный по времени и конечных элементов любого порядка на конечном отрезке по пространству численный метод ее решения. Метод сочетается с приближенным ПГУ. Он обладает равномерной по времени устойчивостью по отношению к начальным данным и свободному члену в определяющем интегральном тождестве при надлежащем условии на оператор в приближенном ПГУ. Изучается также соответствующий вспомогательный метод на бесконечной сетке на полуоси и выводятся дискретные ПГУ, позволяющие редуцировать решение вспомогательного метода на конечный отрезок. Оператор в дискретном ПГУ представляет собой оператор дискретной свертки по времени. Его ядро, в свою очередь, является кратной дискретной сверткой последовательностей, связанных с многочленами Лежандра. Результаты численных экспериментов наглядно подтверждают эффективность использования метода конечных элементов высокого порядка с дискретными ПГУ даже при расчете сильно осциллирующих решений и разрывном потенциале.

Работа выполнена при финансовой поддержке программы “Научный фонд НИУ ВШЭ” в 2012–2013 гг., проект 11–01–0051.