Статья
Метод конечных элементов с дискретными прозрачными граничными условиями для одномерного нестационарного уравнения Шрёдингера
Уравнение Шрёдингера играет важную роль в квантовой механике, ядерной и волновой физике, в нанотехнологиях и др. Часто его приходится решать в неограниченных областях. Для этой цели разработано немало подходов, использующих приближенные прозрачные граничные условия (ПГУ) на искусственных границах. К числу лучших из них относятся дискретные ПГУ, для которых отражения от искусственных границ полностью отсутствуют, вычисления устойчивы, а их математическая основа прозрачна. Их разработке и анализу для разностных схем посвящен целый ряд работ. В то же время для метода конечных элементов (МКЭ) дискретные ПГУ построены не были. Настоящая статья восполняет этот пробел.
В ней рассматривается начально-краевая задача для обобщенного нестационарного уравнения Шрёдингера (с переменными коэффициентами) на полуоси. Изучается двухслойный симметричный по времени и конечных элементов любого порядка на конечном отрезке по пространству численный метод ее решения. Метод сочетается с приближенным ПГУ. Он обладает равномерной по времени устойчивостью по отношению к начальным данным и свободному члену в определяющем интегральном тождестве при надлежащем условии на оператор в приближенном ПГУ. Изучается также соответствующий вспомогательный метод на бесконечной сетке на полуоси и выводятся дискретные ПГУ, позволяющие редуцировать решение вспомогательного метода на конечный отрезок. Оператор в дискретном ПГУ представляет собой оператор дискретной свертки по времени. Его ядро, в свою очередь, является кратной дискретной сверткой последовательностей, связанных с многочленами Лежандра. Результаты численных экспериментов наглядно подтверждают эффективность использования метода конечных элементов высокого порядка с дискретными ПГУ даже при расчете сильно осциллирующих решений и разрывном потенциале.
Работа выполнена при финансовой поддержке программы “Научный фонд НИУ ВШЭ” в 2012–2013 гг., проект 11–01–0051.
Составлено в соответствии с рабочей программой курса и содержит подробное изложение лекционного материала в объёме, достаточном для изучения студентами-бакалаврами данного направления в рамках дисциплины «Вычислительная математика». Включает разделы о теоретических основах численных методов, решении нелинейных, дифференциальных и интегральных уравнений, а также систем линейных, нелинейных и дифференциальных уравнений, приближенного вычисления производных и интегралов, аппроксимации функций, методах оптимизации. Содержит библиографический список учебников, научных книг, статей и интернет ресурсов, которые могут быть использованы студентами для самостоятельной проработки отдельных разделов курса.
Утверждено Редакционно-издательским советом Московского государственного института электроники и математики в качестве учебного пособия.
Рассматривается аналитическая методика и приведены результаты расчета методом конечных элементов термоупругого напряженно-деформированного состояния в слоях многослойных покрытий нанометровой толщины на оптических деталях. Показан способ снижения температурного прогиба с помощью слоя пьезокерамического наноматериала.
Изложены все разделы физики для вузов: механика, молекулярная физика, термодинамика, электричество и магнетизм, колебания и волны, элементы квантовой физики атомов и молекул, элементы физики атомного ядра и элементарных частиц. Приводятся основные понятия, законы и формулы, примеры решения задач, а также задачи для самостоятельного решения.
Для студентов технических специальностей вузов и техникумов, а также старшеклассников и абитуриентов, готовящихся к поступлению в технические вузы.
Изложены все разделы физики для вузов: механика, молекулярная физика, термодинамика, электричество и магнетизм, колебания и волны, элементы квантовой физики атомов и молекул, элементы физики атомного ядра и элементарных частиц. Приводятся основные понятия, законы и формулы, примеры решения задач, а также задачи для самостоятельного решения.
Для студентов технических специальностей вузов и техникумов, а также старшеклассников и абитуриентов, готовящихся к поступлению в технические вузы.
Одна из основных проблем промышленного производства серийных товаров - это эффективность производства и последующая утилизация отходов. Чем выше общий уровень производства, тем больше проблем с экономией сырья, с повышением коэффициента использования металла. Появляются экологические проблемы переработки и утилизации отходов производства.
Работа посвящена моделированию технологических процессов прокатки в калибрах с помощью методики 2.5D. Разработанная на базе данной методики компьютерная программа SPLEN(Rolling) позволяет проводить моделирование и экспресс-анализ поведения металла при проектировании процессов сортовой прокатки. Результаты апробации подтвердили высокую достоверность разработанной методики и программного обеспечения.
Обсуждается задача использования солнечного ветра для орбитальных маневров космических аппаратов. Анализируются материалы, связанные с созданием шаровых солнечных парусов с изменяемыми отражательными характеристиками, например с использованием жидкокристаллической пленки. Описываются возможные варианты построения математической модели паруса и соответствующие им алгоритмы управления.
Для исследования состояния границы раздела многослойных систем разработан метод,основанный на спектральном анализе термоволновых колебаний, возникающих под действием излучения лазеров, работающих в периодическом импульсном режиме. Метод основан на высокой чувствительности формы осциллирующей составляющей пирометрического сигнала к адгезионным характеристикам границы раздела фаз. Для количественной оценки формы сигнала использованы коэффициент корреляции (система пленка – подложка) и передаточная функция (многослойные образцы).
Рассматриваются вероятные трудности, возникающие при создании криоботов. Обсуждаются проблемы прохождения больших толщин ледяного слоя и эффективности применения оборудования типа криоботов для изучения ледяной поверхности Европы. Сделан обзор исследований по созданию криобота как для земного применения, так и для исследования планетарных льдов. Приводится обзор альтернативных технологий исследования подледного пространства.
В первой части пособия рассмотрены дополнительные вопросы теории вероятностей, необходимые для изучения математической статистики, и начальные сведения по математической статистике.
Во второй части пособия подробно изложены вопросы, связанные с решением одной из основных задач математической статистики - параметрической задачи. Приведено много примеров.
Рекомендуется всем студентам МИЭМа, изучающим математическую статистику.
Книга представляет первую часть курса физики для вузов из 3 частей. В ней изложены разделы, посвященные классической механике, специальной теории относительности, колебаниям и волнам, статистической физике и термодинамике. Курс предназначен для широкого круга вузов с изучением общей физики в течение 2-4 семестров, а также для самоподготовки и повторения ранее изученного материала. В рамках соответствия государственным образовательным стандартам дано представление о ряде существенных разделов и подходов сегодняшней физики. Акцент в изложении сделан на наиболее перспективные, бурно развивающиеся и финансируемые приложения, и это делает учебник востребованным и современным по сути. В первую очередь, речь идет о приложениях физики к современным технологиям, электронике, медицине и биологии.
Настоящая книга представляет собой своеобразный расширенный учебник по математической статистике. Данный учебник не ограничен рамками учебного стандарта или вузовской программы --- он предназначен всем, кто интересуется математикой вообще и, в частности, хочет узнать, что такое современная математическая статистика, какие задачи и какими методами она решает, какие результаты в ней уже накоплены, какие проблемы в ней сегодня актуальны; наконец, каковы ее истоки, какой путь она прошла и какие ученые были ее творцами. По замыслу авторов, книга простым и доступным языком рассказывает о математической статистике и одновременно обучает ей. Вся теория объясняется и иллюстрируется на интересных и тщательно подобранных примерах. Книга может служить и задачником, так как содержит большой список упражнений для самостоятельного решения, а также справочным пособием по математической статистике, а в некоторых аспектах --- и по теории вероятностей.
Книга будет интересна преподавателям, аспирантам и студентам естественных и технических вузов, в которых изучается математическая статистика, научным работникам, использующим в своей деятельности методы математической статистики, а также самому широкому кругу любителей математики.
Изучается задача минимизации среднеквадратичного отклонения однородной струны с закрепленными концами от положения равновесия. Управлением служит плотность внешних сил, действующих на струну. Предполагается, что заданы начальные условия и концы струны закреплены. Используется метод Фурье, который позволяет задачу управления уравнением в частных производных свести к задаче управления счетной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Для полученной задачи оптимального управления в пространстве l2 доказано, что оптимальный синтез содержит особые траектории и траектории с учащающимися переключениями. Для исходной задачи оптимального управления колебаниями струны доказано, что существует единственное решение, при этом оптимальное управление имеет счетное число переключений на конечном интервале времени.
Изучаются класс задач оптимального управления и порожденные ими гамильтоновы системы в пространстве l 2. Доказывается существование экстремалей со счетным числом переключений на конечном интервале времени. Построен оптимальный синтез в пространстве l 2, образующий расслоение с кусочно-гладкими двумерными слоями, состоящими из экстремалей со счетным числом переключений, над бесконечномерной базой особых экстремалей.
Эта публикация представляет собой сборник отдельных статей "Третьей Международной конференции по динамике информационных систем», которая состоялась в университете Флориды, 16-18 февраля 2011 года. Цель данной конференции заключалась в том, чтобы собрать вместе ученых и инженеров из промышленности, правительства и научных кругов, чтобы они смогли обменяться новыми открытиями и результатами в вопросах, имеющих отношение к теории и практике динамики информационных систем. Динамика информационных систем: математическое открытие представляет собой современное исследование и предназначается студентам – аспирантам и исследователям, которые интересуются самыми последними открытиями в информационной теории и динамичных системах. Ученые других дисциплин могут также получить пользу от применения новых разработок в своих областях исследований.
В данной работе рассматривается пятое уравнение Пенлеве, которое имеет 4 комплексных параметра α, β, γ, δ. Методами степенной геометрии ищутся асимптотические разложения его решений при x → ∞. При α≠0 найдено 10 степенных разложений с двумя экспоненциальными добавками каждое. Шесть из них - по целым степеням x (они были известны), и четыре по полуцелым (они новые). При α=0 найдено 4 однопараметрических семейства экспоненциальных асимптотик y(x) и 3 однопараметрических семейства сложных разложений x=x(y). Все экспоненциальные добавки, экспоненциальные асимптотики и сложные разложения найдены впервые. Также уточнена техника вычисления экспоненциальных добавок.
В работе построено новое распределение, отвечающее реальному благородному газу, а также уравнение состояний для него.
Статьи данного сборника написаны на основе докладов, сделанных в 2011 г. на социологическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова на заседании XIV Междисциплинарного ежегодного научного семинара "Математическое моделирование социальных процессов" им. Героя Социалистического труда академика А.А. Самарского.
Издание предназначено для научных сотрудников, преподавателей, учащихся вузов и научных учреждений РАН, интересующихся проблемами, разработкой и внедрением методологии математического моделирования социальных процессов.