?
Об оценке плотности распределения с помощью ряда Фурье
Рассматривается классическая статистическая задача оценки плотности распределения по выборке из этого распределения. Данная задача возникает в различных прикладных областях при попытке изучить вероятностную структуру некоторого случайного процесса. Например, с помощью оценки плотности можно идентифицировать некоторую структуру в сложной системе, а затем сделать выводы о неизвестных параметрах этой системы. В данной работе предлагается новый способ оценивания плотности распре- деления, основанный на аппроксимации логарифма плотности рядом Фурье, коэффициенты которого вычисляются с помощью решения некоторой си- стемы линейных уравнений. Анализ теоретических свойств такой оценки является основной задачей данной работы. Основными результатами данной работы являются оценка отклонения в супремум-норме и оценка расстояния Кульбака – Лейблера между аппроксимацией плотности и истинным значени- ем. Полученные оценки являются параметрическими и имеют порядок сходи- мости «с большой верятностью» 𝑂(1/√𝑁), что является стандартными порядками в задачах параметрического оценивания. Константы в порядках получены с точностью до некоторого абсолютного множителя, т.е. исследо- вана ее зависимость от всех параметров задачи. В качестве численного при- мера рассматривается оценка плотности распределения Коши.