In this paper we present a family of values of the parameters of the third Painlevé equation such that Puiseux series formally satisfying this equation -- considered as series of z^{2/3} -- are series of exact Gevrey order one. We prove the divergence of these series and provide analytic functions which are approximated by them in sectors with the vertices at infinity.

В работе [4] были перечислены плоские кубические карты с отмеченным остовным деревом и с отмеченным направленным ребром, не принадлежащим остовному дереву. Число таких карт с 2n вершинами равно C2n ∙ Cn+1, где Ck -- число Каталана. В данной работе мы не требуем, чтобы карта содержала  отмеченное направленное ребро, т.е. мы перечисляем плоские кубические карты с отмеченным остовным деревом. Формулы, разумеется, становятся сложнее, но не слишком. 

A celebrated conjecture of Kobayashi and Lang says that the canonical line bundle K_X of a Kobayashi hyperbolic compact complex manifold X is ample. In this note we prove that K_X is ample if X is projective and satisfies a stronger condition of nondegenerate negative total k-jet curvature. We use positivity of direct image sheaves and decomposition of jets in order to produce pluridifferentials on X.

Мы изучаем свойства множества Σ, являющегося решением задачи о минимизации длины для произвольных компакта M ⊂ R 2 и числа r > 0, ограничивающего максимальное расстояние от искомого множества до M. Иначе говоря, искомое множество Σ имеет минимальную длину в классе замкнутых связных множеств Σ 0 , таких что M содержится в замыкании r-окрестности Σ 0 В настоящей работе доказано, что любой минимайзер максимального расстояния является объединением конечного числа дуг (инъективных образов отрезков). При этом угол между любыми двумя касательными лучами в произвольной точке минимайзера больше или равен 2π/3. Доказаны также ряд геометрических и топологических свойств минимайзера. Все утверждения доказаны даже для более широкого, чем минимайзеры, класса локальных минимайзеров.