?
Сравнение классификаций двумерных локальных полей, тип II
Статья относится к теории устранения высшего ветвления для двумерных полей и продолжает исследования, связанные с классификацией полей, введенной в работе Масато Курихары. Рассматриваются двумерные локальные поля смешанной характеристики с конечным полем вычетов, для которых характеристика поля вычетов отлична от двух. Хорошо известна структура полей, которые слабо неразветвлены над своим подполем констант — так называемых стандартных полей. Также известно, что из любого поля можно получить стандартное конечным расширением его подполя констант. Вопрос о наименьшей степени такого расширения в общем случае остается открытым. В статье Курихары двумерные поля подразделяются на два типа следующим образом. Рассматривается линейное соотношение между дифференциалами локальных параметров. Если нормирование коэффициента при униформизирующей меньше, чем нормирование коэффициента перед вторым локальным параметром, поле относится к типу I, в противном случае — к типу II. В настоящей статье изучаются поля типа II. Для них рассматривается уточнение инварианта Курихары: для каждого поля вводится величина Δ, равная разности нормирований коэффициентов в соотношении для дифференциалов локальных параметров. Степень константного расширения, устраняющего ветвление, для любого поля не меньше, чем индекс ветвления над подполем констант. При этом расширение такой степени существует не для всех полей. В статье доказано, что для существования расширения наименьшей возможной степени достаточно, чтобы величина Δ принимала достаточно большие по модулю значения. Соответствующая оценка на величину Δ зависит от индекса ветвления поля над его подполем констант.