Данное научное исследование (номер проекта 14-05- 0038) выполнено при поддержке Программы «Научный фонд НИУ ВШЭ» в 2014 г.
В статье мы строим пример гладкого диффеоморфизма замкнутого многообразия, который имеет одномерное (в топологическом смысле) соленоидальное базисное множество с устойчивым инвариантным многообразием произвольной ненулевой (наперед заданной) размерности и устойчивым инвариантным многообразием произвольной размерности, большей или равной двум. Базисное множество имеет седловой тип (не является ни аттрактором, ни репеллером). Кроме этого, построенный диффеоморфизм имеет положительную топологическую энтропию и в некоторой окрестности одномерного соленоидального базисного множества является консервативным (другими словами, якобиан диффеоморфизма в этой окрестности равен единице). Конструкция, представленная в данной статье, позволяет построить диффеоморфизм с указанными свойствами на многообразии, диффеоморфном прямому произведению окружности на сферу коразмерности один.
Ранее авторами был введён класс диффеоморфизмов Смейла — Виеториса, который содержит ДЕ-отображения Смейла. В статье рассматривается класс А-диффеоморфизмов Смейла — Виеториса, определяющийся с помощью базовых А-эндоморфизмов многообразий, размерность которых меньше размерности несущих многообразий А-диффеоморфизмов. Показано, что имеется взаимно однозначное соответствие между базисными множествами базового А-эндоморфизма и А-диффеоморфизма Смейла — Виеториса. Для назад-инвариантного базисного множества базового А-эндоморфизма приводится точное описание соответствующего нетривиального базисного множества А-диффеоморфизма Смейла — Виеториса. На основе полученного описания строится бифуркация между различными типами соленоидальных базисных множеств.
В статье строится пример диффеоморфизма 33-мерной сферы с положительной топологической энтропией, который имеет одномерное соленоидальное базисное множество с двумерным неустойчивым и одномерным устойчивым инвариантными многообразиями в каждой точке (в частности, базисное множество не является ни аттрактором, ни репеллером). Построенный диффеоморфизм служит основой для конструкции недиссипативного быстрого кинематического динамо с одномерным инвариантным соленоидальным множеством.