In this paper we establish the existence of an energy function for structurally stable diffeomorphisms of closed three-dimensional manifolds whose nonwandering set contains a two-dimensional expanding attractor.

Рассматривается задача об эффекте Зеемана во втором порядке по магнитному полю с использованием неприводимых представлений алгебры с квадратичными  коммутационными соотношениями Карасева-Новиковой. Каждому представлению этой алгебры соответствует спектральный кластер вокруг уровня энергии невозмущенного атома водорода. На примере этой модели излагается общий метод построения асимптотических решений вблизи границ спектральных кластеров с помощью нового интегрального представления. Изучена задача вычисления квантовых средних вблизи нижних границ кластеров.

В работе описан полицикл «сердце» и доказано, что множество полей с полициклом «сердце» образуют банахово подмногообразие коразмерности два в пространстве гладких векторных полей на двумерной сфере. Построена бифуркационная диаграмма типичного семейства, со- держащего данный полицикл, и описана перестройка фазового портрета.

В настоящей работе рассмотрен класс трёхмерных диффеоморфизмов, отличающихся от градиентно-подобных систем наличием гетероклических касаний. Хорошо известно, что такие каскады не являются структурно устойчивыми. Однако для некоторого содержательного класса таких диффеоморфизмов в настоящей работе найдена полная система топологических инвариантов.

Построена структурная теория связных разрешимых сферических подгрупп в полупростых алгебраических группах. На основе этой теории получена явная классификация всех таких подгрупп с точностью до сопряжённости.

Мы исследуем класс минимально действующих конечно порождённых групп C2-диффеоморфизмов окружности, для которых имеет место свойство неподвижности нерастяжимых точек, причём множество нерастяжимых точек непусто. Оказывается, показатель Ляпунова растяжения любого такого действия равен нулю. Следствием этого оказывается сингулярность стационарной меры для случайной динамики, заданной любым вероятностным распределением, носитель которого — конечное множество порождающих группу элементов. 

 

В настоящей работе устанавливается существование энергетической функции структурно устойчивых диффеоморфизмов замкнутых трёхмерных многообразий, неблуждающее множество которых содержит двумерный растягивающийся аттрактор.

Сферическое однородное пространство G/H связной полупростой алгебраической группы G называется превосходным, если оно квазиаффинно и его полугруппа старших весов порождается непересекающимися линейными комбинациями фундаментальных весов группы G. В работе классифицируются все с точностью до изоморфизма превосходные аффинные сферические однородные пространства.

Используя наши результаты про лоренцевы алгебры Каца—Муди и арифметическую зеркальную симметрию, мы находим шесть серий примеров решёточно-поляризованных K3-поверхностей с автоморфным дискриминантом.

..

Методы коммутативной и гомологической алгебры позволяют получать результаты о свойствах кольца Стенли--Райснера $\ko[K]$ симплициального комплекса $K$. Возникла задача: описать топологические свойства симплициальных комплексов с данными свойствами колец $\ko[K]$. Известно, что для симплициального комплекса $K=\partial P^*$, где $P^*$ --- многогранник, двойственный к простому многограннику $P$ размерности $n$, глубина $\depth\ko[K]$ равна $n$. Недавно появилась более общая конструкция, сопоставляющая любому выпуклому многограннику $P$ симплициальный комплекс $K_P$. Актуальной стала задача описания свойств колец $\ko[K_P]$. В настоящей работе получены результаты по обеим задачам. В том числе дана характеризация глубины кольца $\ko[K]$ в терминах топологии линков комплекса $K$, и показано, что $\depth\ko[K_P] = n$ для произвольного выпуклого многогранника $P$ размерности $n$. Получен ряд соотношений на биградуированные числа Бетти комплексов $K_P$. Также показана взаимосвязь рассматриваемых вопросов с понятием комплексов $k$-Коэна--Маколея и на основе этой взаимосвязи введена и исследована новая фильтрация на множестве симплициальных комплексов.

Получены локальные и глобальные оценки плотностей решений уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова.

В типичных быстро-медленных системах на двумерном торе с единственным параметром при сколь угодно малом значении этого параметра существуют притягивающие уточные циклы.  Это существенно отличает динамику на торе от динамики аналогичных систем на плоскости. Ранее это было показано для систем с выпуклой медленной кривой. В настоящей работе рассматриваются системы с невыпуклой медленной кривой. Получены верхняя и нижняя оценки на число уточных циклов. Построено открытое множество систем, обладающих заданным наперед числом притягивающих уточных циклов.