В этой статье продолжается изучение метрических аспектов задачи об идеалах. Пусть даны функция h∈H∞(D) и векторнозначная функция f∈H∞(D;E), принимающая значения в некоторой решётке последовательностей E, которые дополнительно удовлетворяют следующему условию: |h(z)|≤∥f(z)∥αE≤1 для некоторого показателя α. Необходимо найти такую функцию g∈H∞(D;E′) со значениями в порядково двойственной решётке E′, что ∑fjgj=h, контролируя при этом величину нормы ∥g∥H∞(E′). Классический случай E=l2 был установлен В. А. Толоконниковым в 1981 году. Недавно автору удалось получить подобный результат для пространства E=l1. В этой работе будет показано, что утверждение справедливо в случае, когда E – q-вогнутая банахова решётка, в частности, для E=lp с произвольным p∈[1,∞).
Normalized Laplacians and their perturbations by periodic potentials (Schrödinger operators) on periodic discrete graphs are treated. The spectrum of such an operator consists of an absolutely continuous part, which is the union of a finite number of nondegenerate bands, and a finite number of flat bands, i.e., eigenvalues of infinite multiplicity. Estimates for the Lebesgue measure of the spectrum in terms of geometric parameters of the graphs are obtained and it is shown that these estimates become identities for some graphs. Two-sided estimates are given for the lengths of the first spectral bands and for the effective masses at the bottom of the spectrum for the Laplace and Schrödinger operators. In particular, these estimates show that the first spectral band of the Schrödinger operators is nondegenerate.
The discrete spectrum of the Dirichlet problem for the Laplace operator on the union of two circular unit cylinders whose axes intersect at the right angle consists of a single eigenvalue. For the threshold value of the spectral parameter, this problem has no bounded solutions. When the angle between the axes reduces, the multiplicity of the discrete spectrum grows unboundedly.
Рассматривается периодический оператор Шредингера Н на дискретном периодическом графе. Получены оценки дискретного спектра возмущенного оператора убывающий потенциал. В случае потенциала, имеющего степенную асимптотику на бесконечности найдена асимптотика дискретного спектра оператора при большой константе связи.
В работе доказан ряд важных результатов о внутренних множителях аналитических функций переменной гладкости в замкнутом круге
В статье доказано, что конформное отображение круга на жорданову область, граница которой получена из кривой
гладкости r+a деформацией на множестве дуг с быстроубывающими длинами на дуги меньшей гладкости, на множестве
положительной меры на окружности сохраняет гладкость r+a.
В работе доказано, что внешняя в единичном круге функция, модуль которой на единичной окружности удовлетворяет условию Гёльдера порядка S, а логарифм модуля принадлежит L^p на окружности, 1<p<бесконечность, в еденичном круге принадлежит ps/(p+1).
Индексы особых точек векторного поля или 1-формы на гладком многообразии тесно связаны с эйлеровой характеристикой через классическую теорему Пуанкаре-Хопфа. Обобщенные эйлеровы характеристики (аддитивные топологические инварианты пространств с некоторыми дополнительными структурами) бывают связаны с соответствующими аналогами индексов особых точек. Ранее было определено понятие универсальной эйлеровой характеристики орбифолда. Она принимает значения в кольце R, как абелева группа свободно порожденном образующими, соответствующими классам изоморфизма конечных групп. В настоящей работе определяется универсальный индекс изолированной особой точки векторного поля или 1-формы на орбифолде как элемент кольца R. Для этого индекса имеет место аналог теоремы Пуанкаре-Хопфа.