Некоторые свойства множеств типа пористости, связанные с $d$-обхватом по Хаусдорфу

Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. 2022. Т. 319. С. 298–323.

Тюленев А. И.

Пусть $S \subset \mathbb R^n$ -- непустое множество. При $d \in [0,n)$ для куба
$\overline{Q} \subset \mathbb R^n$ c длиной ребра~$l=l(\overline{Q}) \in  (0,1]$
показано, что если для $d$-обхвата по Хаусдорфу
$\mathcal H^d_{\infty}(\overline{Q}\cap S)$ множества $\overline{Q}\cap S$ верно неравенство
$\mathcal H^d_{\infty}(\overline{Q}\cap S)<\overline{\lambda}l^{d}$ при некотором $\overline{\lambda}\in (0,1)$, то множество
$\overline{Q}\setminus S$ содержит специфическую полость. Более точно, доказано существование
псевдометрики $\rho=\rho_{S,d}$ такой, что для любого достаточно малого $\delta>0$ окрестность
$U^\rho_\delta(S)$ множества~$S$ в псевдометрике~$\rho$ не покрывает~$\overline{Q}$. Более того,
установлено существование констант $\overline{\delta}=\overline{\delta}(n,d,\overline{\lambda})>0$ и
$\underline{\gamma}=\underline{\gamma}(n,d,\overline{\lambda})>0$ таких, что $\mathcal
L^n(\overline{Q}\setminus U^{\rho}_{\delta l}(S)) \geq \underline{\gamma} l^n$ при всех
$\delta\in (0,\overline{\delta})$, где $\mathcal L^n$~--- мера Лебега.
При условии, что множество~$S$ дополнительно удовлетворяет условию
$d$-регулярности обхвата снизу, доказано существование константы
$\underline{\tau}=\underline{\tau}(n,d,\overline{\lambda})>0$ такой, что куб $\overline{Q}$
является $\underline{\tau}$-пористым. Точность результатов иллюстрируется несколькими примерами.

Ключевые слова: меры Хаусдорфа