Статья
Анализ математического творчества А.Г. Костюченко.
Изучается игровое равновесие в модели с производством и экстерналия- ми в сети с двумя типами агентов, обладающих разной продуктивностью. Каждый агент может инвестировать часть своего начального запаса в первом из двух временных перио- дов; потребление во втором периоде зависит от его инвестиций и продуктивности, так же как и от инвестиций его соседей в сети. Возможны три способа поведения агента: пассив- ный (инвестиции отсутствуют), активный (инвестируется часть запаса) и гиперактивный (весь запас инвестируется). Вводится формализация понятия динамики в терминах систе- мы разностных уравнений, изучаются последствия объединения двух полных сетей с разной продуктивностью агентов и вопросы устойчивости равновесий.
Данный учебник дает читателю необходимые знания по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории разностных уравнений и теории стохастических дифференциальных уравнений. Все три названные раздела одинаково необходимы для полноценного экономического образования. Учебник состоит из теоретической и практической частей. В практической части курса подробно и обстоятельно демонстрируются на конкретных примерах методы решения различных задач. В результате изучения данного курса студенты познакомятся с основными понятиями теории дифференциальных, разностных и стохастических дифференциальных уравнений, основными фактами, касающимися существования, единственности, устойчивости решений, научатся решать дифференциальные, разностные и стохастические дифференциальные уравнения, анализировать решения на устойчивость.
В статье приводятся результаты вычислений асимптотики спектра гамильтониана.
Предисловие.
Теория вероятностей возникла в XVI--XVII веках как раздел математики, объясняющий причины выигрыша или проигрыша в азартных играх. Участие знаменитых ученых потребовалось для анализа игровых стратегий и объяснения ряда фактов отнюдь не очевидных с точки зрения здравого смысла. Вероятностные методы описания окружающей реальности остаются актуальными и сейчас, более того, сложность рассматриваемых систем достигла планетарного масштаба. Стохастические методы, возникшие как инструмент анализа игры в кости, используются для учета влияния случайных факторов на динамику глобальных процессов. Какова же в настоящее время роль теории вероятностей в точных науках? Во-первых, вероятностные методы предоставляют адекватный инструмент обработки результатов экспериментов, используемых для проверки научных гипотез, поскольку новые результаты, как правило, извлекаются из экспериментальных данных, полученных на пределе технических возможностей измерительной аппаратуры. Такие данные содержат шумы приборов, неточности в описании условий эксперимента и другие плохо контролируемые факторы. Во-вторых, существуют явления, такие как тепловые шумы, квантовые флуктуации и пр., случайные по своей природе, или турбулентность, полное детерминистическое описание которой практически невозможно. Наличие тепловых или квантовых шумов ограничивает пропускную способность каналов связи и производительность микропроцессоров, а принцип неопределенности Гейзенберга ограничивает точность одновременного измерения некоммутирующих наблюдаемых. В-третьих, со случайностью можно не только бороться, ее можно использовать, поскольку ряд физических величин выражается в виде математического ожидания функционалов по вероятностным мерам. Для вычисления таких величин используются методы статистического моделирования -- алгоритмы Метрополиса и Хастингса. Перечисленные области применения вероятностных методов в физических задачах отражены в настоящем учебном пособии, состоящем из двух пар связанных между собой разделов теории вероятностей и математической статистики: первая пара -- основные понятия теории вероятностей и статистические методы проверки гипотез, вторая пара -- марковские цепи и методы статистического моделирования, включая вычисление континуальных интегралов и статистических сумм для систем с парным взаимодействием. Теоретический материал иллюстрируется примерами численного решения задач с помощью системы аналитических вычислений Mathematica, освоение которых полезно для студентов и аспирантов, изучающих вероятностные методы в физике. Мы знакомим читателя с применениями критериев Пирсона, Стьюдента, Фишера, Колмогорова и Смирнова для проверки статистических гипотез и определения параметров методом наименьших квадратов. Во второй части курса рассматриваются эргодические свойства случайных процессов, методы моделирования случайных блужданий и броуновского движения, а также численные методы Монте-Карло. В первую очередь здесь излагаются способы получения и преобразования случайных величин и обсуждаются различные критерии качества датчиков псевдослучайных чисел. Целью курса является объединение теоретических и вычислительных возможностей теории вероятностей в компактной и связанной форме. С точки зрения автора, одной из наиболее удачной книг по теории вероятностей и математической статистике для физиков является монография Д.~Хадсона ``Статистика для физиков'' \cite{Hud64}, написанная в теперь уже далеком 1964 г. и переведенная на русский язык в 1967 году. Ее отличительными чертами являются компактность и простота изложения, сопровождаемые примерами анализа статистических данных и математическими выкладками, достаточным для понимания сути дела. Фундаментальным дополнением, не утратившим актуальности и по сей день, является двухтомник В.~Феллера ``Введение в теорию вероятностей и ее приложения'' \cite{feller}. Русский перевод был сделан известнейшими специалистами Р.Л.~Добрушиным, С.А.~Молчановым и А.А.~Юшкевичем под редакцией Е.Б.~Дынкина и опубликован в 1967 году --- всего через год после выхода английского издания. В отличие от большинства ``толстых'' монографий по математике, двухтомник Феллера написан для читателя --- его можно изучать, начиная с любой главы. Кроме того, оба тома снабжены впечатляющим количеством нетривиальных примеров, многие из которых взяты из научных публикаций известных авторов. Среди недавно изданных монографий весьма интересна книга М.Б.~Лагутина ``Наглядная математическая статистика'' \cite{Lag07}, автору которой удалось изложить важные результаты статистики в увлекательной форме без потери глубины и строгости. При написании текста настоящего учебного пособия мы попытались соединить в нем достоинства упомянутых книг --- краткость, наличие доказательств и поясняющих примеров, возможность независимого прочтения основных разделов. Новое обстоятельство, возникшее за годы, прошедшие с момента выхода книг Хадсона и Феллера, связано с распространением персональной вычислительной техники, но примеров удачного совмещения теорем и программ, по-видимому, до настоящего времени не существует, хотя существует большое число программных ресурсов, доступных в интернете (см. random.mat.sbg.ac.at, www.gnu.org, gams.nist.gov и др.). При работе над рукописью автору были весьма полезны состоявшиеся ранее беседы и обсуждения математических вопросов с В.~Богачевым, А.~Булинским, Н.~Вабищевичем и А.~Соболевским. Автор выражает им свою глубокую благодарность.
В сборнике представлены тезисы докладов участников XVIII Международной студенческой конференции-школы-семинара «Новые информационные технологии», состоявшейся в мае 2010 года.
Сборник состоит из двух разделов. Первый раздел сборника включает пленарные доклады ведущих специалистов. Второй раздел содержит тезисы докладов студентов и аспирантов, учащихся техникумов и колледжей, участвовавших в работе школы-семинара.
В основе настоящего учебного пособия лежит специальный курс по выбору студента, прочитанный автором на механико - математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова в 2010-2012 учебных годах. Пособие знакомит читателя с методом параметрикса и его дискретным аналогом, развитым в самое последнее время автором пособия и его коллегами-соавторами. Оно объединяет воедино материал, который ранее содержался только в ряде журнальных статей. Не стремясь к максимальной общности изложения, автор ставил целью продемонстрировать возможности метода при доказательстве локальных предельных теорем о сходимости марковских цепей к диффузионному процессу и при получении двусторонних оценок типа Аронсона для некоторых вырожденных диффузий.
Настоящая книга представляет собой своеобразный расширенный учебник по математической статистике. Данный учебник не ограничен рамками учебного стандарта или вузовской программы --- он предназначен всем, кто интересуется математикой вообще и, в частности, хочет узнать, что такое современная математическая статистика, какие задачи и какими методами она решает, какие результаты в ней уже накоплены, какие проблемы в ней сегодня актуальны; наконец, каковы ее истоки, какой путь она прошла и какие ученые были ее творцами. По замыслу авторов, книга простым и доступным языком рассказывает о математической статистике и одновременно обучает ей. Вся теория объясняется и иллюстрируется на интересных и тщательно подобранных примерах. Книга может служить и задачником, так как содержит большой список упражнений для самостоятельного решения, а также справочным пособием по математической статистике, а в некоторых аспектах --- и по теории вероятностей.
Книга будет интересна преподавателям, аспирантам и студентам естественных и технических вузов, в которых изучается математическая статистика, научным работникам, использующим в своей деятельности методы математической статистики, а также самому широкому кругу любителей математики.
В сборнике представлены тезисы докладов участников XIX Международной студенческой конференции-школы-семинара «Новые информационные технологии», состоявшейся в мае 2011 года.
Сборник состоит из двух разделов. Первый раздел сборника включает пленарные доклады ведущих специалистов. Второй раздел содержит тезисы докладов студентов и аспирантов, учащихся техникумов и колледжей, участвовавших в работе школы-семинара.