Статья
On the adjacency quantization in an equation modelling the Josephson effect.
В статье исследуется двупараметрическое семейство неавтономных обыкновенных
Q0
дифференциальных уравнений на торе, моделирующее эффект Джозефсона из физики
сверхпроводников. Изучается его число вращения как функция от параметров и языки
Арнольда (иначе называемые областями фазового захвата): множества уровня чис-
ла вращения, имеющие непустую внутренность. Языки рассматриваемого уравнения
обладают рядом нетипичных свойств: фазовый захват происходит только для целочис-
ленных значений числа вращения ([4], [8]); границы языков задаются аналитическими Q1
кривыми ([6], [3]), в точках пересечения которых ширина языка равна нулю (образу-
ются перемычки). Численные эксперименты и теоретические исследования ([5], [18])
показывают, что каждый язык Арнольда образует бесконечную цепочку примыкаю-
щих друг к другу областей, разделенных перемычками и уходящих на бесконечность
в асимптотически вертикальном направлении. Недавно в ходе численных эксперимен-
тов было также обнаружено, что для каждого языка Арнольда все его перемычки
ложатся на одну и ту же вертикальную прямую с целочисленной абсциссой, равной
соответствующему числу вращения. В статье приведено доказательство этого факта
для некоторого открытого множества рассматриваемых двупараметрических семейств
уравнений. В общем случае доказано более слабое утверждение: абсцисса каждой пе-
ремычки целочисленна, имеет тот же знак, что и число вращения, и по модулю не
превосходит числа вращения. Доказательство основано на представлении рассматри-
ваемых дифференциальных уравнений как проективизаций линейных дифференци-
альных уравнений на сфере Римана ([6], [8], [14]) и классической теории линейных
уравнений с комплексным временем.