Данная работа является обзором эффективного подхода к зеркальной симметрии для многообразий Фано – теории торических моделей Ландау–Гинзбурга. Основное внимание уделяется случаю размерности 2 и 3, а также полным пересечениям во взвешенных проективных пространствах и грассманианах. В работе также изучаются различные гипотезы, связывающие инварианты многообразий Фано и их моделей Ландау–Гинзбурга, такие как гипотезы Кацаркова–Концевича–Пантева.

В заметке представлен результат о сходимости почти всюду сферических средних для сохраняющщих вероятностную меру действий фуксовой группы, если группа и набор образующих удовлетворяют условию "ровных углов" (even corners). Именно, группа обладает фундаментальной областью, для которой граница замощения диска её образами состоит из целых геодезических, а в качестве набора образующих взяты элементы группы, переводящие эту фундаментальную область в смежные с ней по ребру.

В этой заметке приводится явная формула для n-мерного символа Конту–Каррера (см. теорему 1) в случае, когда основное кольцо содержит поле Q. На протяжении всей заметки пусть A – произвольное коммутативно

1. Пусть K – локальное поле характеристики нуль, OK – его кольцо целых, q = p r – число элементов в его поле вычетов k, где p – простое число. Рассмотрим арифметически проконечное расширение K ⊂ L бесконечной степени [7], [8], [16; § 1.2]. Также предположим, что K ⊂ L является вполне разветвленным p-расширением (этого всегда можно достичь, заменив K на его конечное расширение в L). Поскольку поле L счетно порождено над K, имеем L = S i∈N Ki, где все Ki являются конечными расширениями поля K в L и Ki ⊂ Kj при i 6 j. С расширением K ⊂ L функториально связано его поле норм F [16; § 2], являющееся локальным полем характеристики p с полем вычетов k. Имеется канонический изоморфизм F ∗ ≃ lim←−i K∗ i , где предел берется относительно отображений норм. В частности, имеется канонический гомоморфизм N: F ∗ → K∗ , который мы тоже будем называть отображением нормы. Зафиксируем изоморфизм F ≃ k((t)), т. е. зафиксируем согласованный относительно норм набор униформизующих элементов πi ∈ Ki, i ∈ N, где t = {πi}i. Заметим, что π = N(t) является униформизующим элементом в K. Рассмотрим композицию λ: F ∗ N−→ K ∗ → 1 + πOK log −−→ K, где второе отображение – проекция с ядром, порожденным элементом π и представителями Тейхмюллера. Заметим, что λ является непрерывным гомоморфизмом и что λ(t) = λ(a) = 0 для всех a ∈ k ∗ . Наша цель – найти явную формулу для λ.