В настоящем обзоре представлено обобщение понятия торической структуры на компактном симплектическом многообразии, получившее название псевдоторической структуры. На языке этих новых структур оказалось удобным и естественным описание многих нестандартных лагранжевых подмногообразий и циклов (а именно, экзотических торов Чеканова, циклов Миронова в некоторых частных случаях и др.), а также построение лагранжевых слоений (например, специальных в смысле Д. Ору слоений на многообразиях Фано). Мы обсуждаем уже известные свойства псевдоторических структур и конструкции, вытекающие из них, а также открытые проблемы, решение которых может оказаться важным как в симплектической геометрии, так и в математической физике.
В статье дан обзор части результатов диссертационной работы автора. Речь идет о применении идеи категорного разрешения сингулярностей, которая была активно опробована алгебраическими геометрами для триангулированных категорий, в гомотопической алгебре. В связи с тем, что возникающие тут категории не имеют никакой аддитивной структуры, возникает необходимость в разработке новых методов. В рамках формализма Сигала, который позволяет описывать различные алгебраические структуры (например, Е_n-алгебры), и классического подхода к задачам гомотопии в духе Бусфельда и Кана, мы переходим от исходной задаче к построению разрешений для категорий производных сечений расслоений Гротендика. Решение последней найдено для определенного класса функторов на уровне баз рассслоений, называемых нами функторами разрешения.
В 30-е и 40-е годы двадцатого века в работах двух математиков -- Карла Дикмана и Василия Леонидовича Гончарова -- занимавшихся совершенно разными задачами, возникло одно и тоже уравнение с запаздыванием. В то время как в статье Дикмана исследовалось предельное значение количества натуральных чисел без больших делителей, работа Гончарова посвящена анализу асимптотики длины максимального цикла в разложении случайной подстановки.
Полученное в этих работах уравнение при некотором начальном условии задаёт плотность вероятностного распределения, называемого теперь распределением Дикмана -- Гончарова (ДГ). В последнее время появился целый ряд совершенно новых приложений распределения ДГ как в математике (случайные блуждания на разрешимых группах, теория случайных графов ,...), так и в биологии (модели роста и эволюции одноклеточных популяций), финансах (теория экстремальных явлений в финансах и страховом деле), физике (модель случайных энергетических уровней), и т.д.
Несмотря на обширную область применения этого распределения и более общих, но родственных моделей, все математические аспекты данной тематики (например, свойства безграничной делимости и абсолютной непрерывности) почти не известны даже среди специалистов по предельным теоремам. Предлагаемый обзор призван заполнить эту лакуну. В нём представлены как уже опубликованные результаты, так и новые факты.
Дан обзор результатов по распределениям многочленов на многомерных пространствах с мерами.
В работе доказано, что на каждой десингуляризации многообразия точек перегиба плоских кубик нет ненулевых регулярных дифференциальных форм любой степени d. Для d=1 это является основным результатом работы S. Kulikov, On the variety of the inflection points of plane cubic curves, 2018, 27 pp., arXiv:1810.01705v1.
Рефлективные модулярные формы ортогонального типа — это фундаментальные автоморфные объекты, обобщающие классическую эта-функцию Дедекинда. В этой статье мы опишем в терминах форм Якоби две конструкции для построения таких модулярных форм: автоморфные произведения и подъем Якоби. В частности, мы докажем, что первый коэффициент Фурье--Якоби модулярной формы Борчердса $\Phi_{12}$ (производящая функция для ``Fake Monster Lie Algebra’’) в любом из 23 одномерных каспов совпадает с функцией знаменателя Каца--Вейля аффинной алгебры системы корней соответствующей решетки Нимейера. Мы даем новую простую конструкцию автоморфного дискриминанта пространства модулей поверхностей Энриквеса в форме подъема произведения восьми тета-функций и строим три башни рефлективных модулярных форм. Одна из них, башня D_8, дает решение проблемы К.-И. Йошикава (2009) о конструкции лоренцевых алгебр Каца--Муди по автоморфным дискриминантам, связанным с поверхностями дел Пеццо и аналитическими кручениями многообразий Калаби--Яу. Мы также формулируем условия на подрешетки, позволяющие строить семейства дочерних рефлективных форм по фиксированной форме. В итоге, в статье построено около 100 подобных функций.
В работе рассматривается подразбиение комплексов подслов, определенных Кнутсоном и Миллером, на слайд-комплексы; показано, что эти комплексы являются шеллинговыми и гомеоморфны шару или сфере.
Степень бифуркационного множества общего полиномиального отображения вычислена в терминах многогранников Ньютона компонент отображения.
В данной статье нами формулируется теорема о сходимости по Чезаро (в смысле L^p и почти всюду) сферических средних для сохраняющих меру действий марковских групп.
В статье дается обзор современных результатов и приложений теории гомотопов. В работе введено понятие хорошо темперированного элемента ассоциативной алгебры и доказано, что категория представлений гомотопа, построенного с помощью хорошо темперированного элемента, является сердцевиной подходящим образом склеенной t-структуры. Посчитаны глобальная и хохшильдова размерность гомотопа в хорошо темперированном случае. Рассматривается случай гомотопа, построенного с помощью обобщенного оператора Лапласа группоида Пуанкаре графа. Показано, что такой гомотоп является фактором алгебры Темперли–Либа графа. Показано, что превратные пучки на проколотом диске и на двумерной сфере с двойной точкой отождествляются с представлениями соответствующего гомотопа. Также в статье обсуждается связь гомотопов с теорией ортогональных разложений алгебры Ли sl(n,C) в сумму картановских подалгебр, с классификацией конфигураций прямых и взаимно несмещенных базисов, с квантовыми протоколами и обобщенными адамаровыми матрицами.
Топографический подход Конвея к бинарным квадратичным формам и тройкам Маркова рассматривается с точки зрения теории двузначных групп. Это естественно приводит к новому классу коммутативных двузначных групп, которые мы называем инволютивными. Мы показываем, что в этом классе особую роль играет двузначная группа нестрогих векторов Конвея. Группа PGL2(Z), описывающая симметрии топографа Конвея, действует автоморфизмами этой двузначной группы. Бинарные квадратичные формы интерпретируются при этом как примитивные элементы 2-алгебры Хопфа функций на группе Конвея. Этот факт используется для построения явного вложения группы Конвея в R и, тем самым, для введения на ней полного группового порядка. Мы классифицируем все двузначные алгебраические инволютивные группы с симметричным законом умножения и показываем, что все они получаются косет-конструкцией из закона сложения на эллиптических кривых. В частности, это проясняет особую роль модификации уравнения Маркова, предложенной Морделлом, и показывает ее связь с двузначными группами из K-теории. Статья заканчивается обсуждением роли двузначных групп и группы PGL2(Z) в контексте интегрируемости в многозначной динамике. Библиография: 104 названия.